NON LINEAR EQUATION - Numerical Method

RESUME MATERI PERTEMUAN KE 2

Oleh Kelompok 1:

Ni Putu Deby                         11.18.0100

Rovin Mahardika                   11.18.0106

Yusuf Dwiki Darmawan        11.18.0112

Pokok Materi :

Non Linear Equation

1     .      Metode Bisection

2     .      Metode Newton – Raphson

3     .      Metode Secant

Simple Definition of Non Linear Equation :

“An equation that is not a straight line when it is graphed.”

Sebuah persamaan yang tidak membentuk garis lurus ketika dipetakan.

Examples:

• y = x2

• y = x3

• y = cos(x)

• lots more!

1.   Bisection method of solving linear equation

Ø  Apa yang dimaksud Bisection Method dan berdasarkan apakah itu?

Bisection method (juga disebut metode pencarian biner) adalah satu metode numerik pertama yang dikembangkan untuk menemukan akar persamaan nonlinear f (x) = 0.

Ø  Algoritma dari Bisection Method

·      Misal dijamin bahwa f(x) adalah fungsi kontinyu pada interval [a, b] dan f(a)f(b) < 0. Ini artinya bahwa f(x) paling tidak harus memiliki akar pada interval [a, b].

·       Kemudian definisikan titik tengah pada interval [a, b] yaitu  Dari sini kita memperoleh dua subinterval yaitu [a, c] dan [c, b].

·    Setelah itu, cek apakah f(a)f(c) < 0  atau f(b)f(c) < 0 ? Jika f(a)f(c) < 0 maka b = c  (artinya titik b digantikan oleh titik c yang berfungsi sebagai titik b pada iterasi berikutnya), jika tidak maka a = c. Dari iterasi pertama kita memperoleh interval [a, b] yang baru dan titik tengah c yang baru.

·     Kemudian lakukan pengecekan lagi seperti sebelumnya sampai memperoleh error yang cukup kecil.

Contoh :

Carilah akar dari x^3 + 4x^2 -10 = 0 pada interval [1, 2].

Penyelesaian :

Dalam penyelesaian ini kita akan menggunakan sampai iterasi ke-10 dan menggunakan 5 angka dibelakang koma.

f(x) = x3 + 4x2 – 10

f(1) = (1)3 + 4(1)2 – 10 = -5

f(2) = (2)3 + 4(2)2 – 10 = 14

f(1.5) = (1.5)3 + 4(1.5)2 – 10 = 2.375

f(1.25) = (1.25)3 + 4(1.25)2 – 10 = -1.79687

f(1.375) = (1.375)3 + 4(1.375)2 – 10 = 0.16210

f(1.3125) = (1.3125)3 + 4(1.3125)2 – 10 = -0.84838

f(1.34375) = (1.34375)3 + 4(1.34375)2 – 10 = -0.35098

f(1.35938) = (1.35938)3 + 4(1.35938)2 – 10 = -0.09632

Jadi akar yang diperoleh dari f(x) = x^3 + 4x^2 -10  menggunakan 5 iterasi adalah 1.36426

2.    Newton-Rapshon method of solving linear equation

Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan. Metode ini dianggap lebih mudah dari Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat konvergen ke akarnya.

Prosedur Metode Newton-Rapshon :

menentukan x0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang menyinggung titik f(x0). Hal ini berakibat garis l memotong sumbu-x di titik x1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang x1 dianggap sebagai titik awalnya. Dari mengulang langkah-langkah sebelumnya akan mendapatkan x2, x3 , . . . , xn dengan xn yang diperoleh adalah bilangan riil yang merupakan akar atau mendekati akar yang sebenarnya.

Perhatikan gambar diatas untuk menurunkan rumus Metode Newton-Raphson
persamaan garis 

        adalah perpotongan garis  dengan sumbu -

         

         dan  maka koordinat titik 

       

 

 

 untuk n = 1, 2, 3,....

    

Contoh :

Tentukan akar dari persamaan menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

iterasi 1 :

ambil titik awal x₀ = 3

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)² – 30(3) + 17 = 35

x₁ = 3 –  = 2.48571

iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)³ – 15(2.48571)² + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)² – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x₂ = 2.48571 –  = 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)³ – 15(2.18342)² + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)² – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x₃ = 2.18342 –  = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)³ – 15(2.04045)² + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)² – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x₄ = 2.04045 –  = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)³ – 15(2.00265)² + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)² – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x₅ = 2.00265 –  = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)³ – 15(2.00001)² + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)² – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x₆ = 2.00001 –  = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)³ – 15(2)² + 17(2) – 6 = 0

karena pada iterasi ketujuh  maka akar dari persamaan tersebut adalah .

3.    Sechant Method of solving linear equation

Pada Metode Newton-Raphson memerlukan syarat wajib yaitu fungsi f(x) harus memiliki turunan f'(x). Sehingga syarat wajib ini dianggap sulit karena tidak semua fungsi bisa dengan mudah mencari turunannya. Oleh karena itu muncul ide dari yaitu mencari persamaan yang ekivalen dengan rumus turunan fungsi. Ide ini lebih dikenal dengan nama Metode Secant. Ide dari metode ini yaitu menggunakan gradien garis yang melalui titik (x0, f(x0)) dan (x1, f(x1)). Perhatikan gambar dibawah ini.

Persamaan garis l adalah

Karena x=x2 maka y=0, sehingga diperoleh

secara umum rumus Metode Secant ini ditulis

Prosedur Metode Secant :

Ambil dua titik awal, misal x0 dan x1. Ingat bahwa pengambilan titik awal tidak disyaratkan alias pengambilan secara sebarang. Setelah itu hitung x2 menggunakan rumus diatas. Kemudian pada iterasi selanjutnya ambil x1 dan x2 sebagai titik awal dan hitung x3. Kemudian ambil x2 dan x3 sebagai titik awal dan hitung x4. Begitu seterusnya sampai iterasi yang diingankan atau sampai mencapai error yang cukup kecil.

Contoh Soal

Hitung akar persamaan dari : f(x) = x3 + x2 – 3x -3

dimana  x1 = 1 dan x2 = 2 ?

Jawab :

f(1) = – 4

f(2) = 3

Iterasi I :

x3   = x2 – (f(x2) (x2 – x1) / f(x2)-f(x1))

= 2 – (3 (2-1) / 3 – (-4))

= 1,57142

F (1.57142) = -1.36449

Iterasi 2 :

x4   = x3 – (f(x3)(x3-x2) / f(x3)-f(x2))

= 1.57142 – (-1,36449) (1.57142 – 2)

———————————

-1.36449 – 3

= 1,70540

F (1.70540) = -0.24774

Iterasi 3 :

x5   = x4 – (f(x4)(x4-x3) / f(x4)-f(x3))

= 1.70540 – (-0.24774) (1.71 – 1.57)

————————-

(-0.24774)-(-1.36449)

= 1.73514

F (1.73514) = 0.02925

Iterasi 4 :

x6   = x5 – (f(x5)(x5-x4) / f(x5)- f(x4))

= 1.73514 – 0.02925 (1.73514 – 1.70540)

————————————

0.02925 – (-0.24774)

= 1.73200

F (1.73200) = -0.00051

Iterasi 5 :

x7  = x6 – (f(x6)(x6-x5) / f(x6) – f(x5))

= 1.73200 – (-0.00051)(1.73200 – 1.73514)

————————————–

– 0.00051 – 0.02925

= 1.073205

F (1.073205) = 0

.: maka akarnya adalah 1.073205

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-7
Karena nilai f(x7) = 0, sehingga ditemukan salah satu akarnya = 1,073205

Semoga materi ini dapat bermanfaat untuk kita semua. Teruslah berproses dalam belajar☺