LINEAR EQUATION - Numerical Method

RESUME PERTEMUAN KE - 3

Oleh Kelompok 2:

                                             Fryska Mazayyah J. Abay     11.18.0090

                                             M Andre Jersey Y                 11.18.0097

                                             Ulil Hidayat                          11.18.0109

Pokok Materi:
Thomas Algorithm and Tridiagonal Matrix solution
1. Introduction
2. Naïve Gaussian Elimination
3. Thomas Algorithm

Introduction

Bentuk-bentuk Matriks

     Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.

     Sebelumnya kita pernah mempelajari bentuk-bentuk umum matriks, diantaranya adalah matriks baris, matriks kolom, matriks identitas, matriks segitiga atas, dan matriks segitiga bawah, serta matriks nol. 

Persamaan umum matrik sering kita tuliskan dalam bentuk:

A.x = b

Dimana A adalah matriks koefisien dan b pada sisi kanan dituliskan sebagai vektor kolom.

Indeks pertama dari element yang dilambangkan dengan a_ij adalah baris, dan indeks kedua adalah kolom.

Pada konteks ini, beberapa jenis matriks khusus adalah penting, diantaranya:
1) Unit matrix
    Matriks diagonal dengan semua elemen diagonal yang sama dengan satu disebut matriks identitas      / unit.

2) Upper triangular matrix
    Semua elemen di bawah entri diagonal adalah nol

3) Lower triangular matrix

    Semua elemen di atas entri diagonal adalah nol

4) Tridiagonal matrix

    Matriks persegi dimana semua elemennya bernilai nol kecuali diagoanal utama, diagonal di                atasnya, dan diagonal di bawahnya.

Naïve Gaussian Elimination

     Eliminasi Naïve Gaussian adalah algoritma yang sederhana dan sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Ada dua langkah dalam peneyelesaiannya, yaitu:

1. Eliminasi maju; Hasil akhir dari eliminasi maju adalah mengubah koefisien matriks menjadi                matriks segitiga atas.

2. Substitusi balik : menghitung variabel yang tidak diketahui dari persamaan terakhir.

Contoh:

Kecepatan dorong roket pada tiga waktu berbeda sebagai berikut :

Tabel 1 data kecepatan  vs waktu

Data kecepatan tersebut didekati dengan persamaan polinomial berikut: v(t) = at²+ at + a , 5 ≤ t ≤12.Tentukan kecepatan pada saat t = 6 s !

Jawab:

Sistem persamaan  v(t) = at² + at + a , 5 ≤ t ≤12. Dalam bentuk matriks dinyatakan sebagai berikut,

Digunakan data dari tabel 1, maka:

Bisa dituliskan juga dalam bentuk:

Jumlah Langkah eliminasi maju ; (n-1) = (3-1) = 2

- Bagi persamaan ke-1 dengan 25 dan dikalikan dengan 64, yaitu :

[25 5 1 : 106.8 ] x 64/25 = [64 12.8 2.56 : 273.408] 

- Kurangkan ke persamaan ke-2 :

[64 8 1 : 177.2]

- [64 12.8 2.56 : 273.408] 

[0 -4.8 -1.56 : 96.208]

- Hasil persamaan baru adalah :

- Bagi persaman ke-1 dengan 25 dn dikalikan dengan 144 , yaitu:

[25 5 1 : 106.8]  x 144/ 25 = [144 28.8 5.76 : 615.168 ]

- Kurangkan ke persamaan ke-3 :

[144 12 1 : 279.2]

-[144 28.8 5.76 : 615.168 ]

[0 -16.8 -4.76 : -335.968]

- Hasil persamaan baru adalah :

- Bagi persamaan ke-2 dengan -4.8 dan dikalikan dengan 16.8, yaitu:

[0 -4.8 -1.56 : -96.208 ] x- 16.8/-4.8 =[ 0 -16.8 -5.46 : -336.728]

- Kurangkan ke persamaan ke-3

[0 -16.8 -4.76 : -335.968]

-[0 -16.8 -5.46 : -336.728 ]

[0 0 0.7 : 0.76 ]

- Hasil persamaan baru adalah

- Substitusi balik

- Penyelesaian untuk a3 :

0.7 a3 = 0.76

a3 = 0.76 / 0.7

a3 = 1.08571

- Penyelesaian untuk a2 :

-4.8a2 - 1.56a3 = -96.208
a2 = (-96.208+1.56a3) / (-4.8)
a2 = (-96.208+1.56 (1.08571)) / (-4.8)
a2 = 19.6905

- Penyelesaian untuk a1 :
25a1 + 5a2 + a3 = 106.8
a1 = (106.8 - 5a2 - a3) / (25)
a1 = (106.8 - 5(19.6905) - 10.8571) / (25)
a1 = 0.290472

Hasil Eliminasi Gauss adalah

Persamaan kecepatan dituliskan menjadi:

v(t) = at2 + at + a , 5 ≤ t ≤12

v(t) = 0.290472t2 + 19.6905t + 1.08571 , 5 ≤ t ≤12

untuk t=6 s, maka:

v(6) = 0.290472(6)2 + 19.6905(6) + 1.08571

      = 129.686 m/s

Thomas Algorithm

Dalam aljabar linear numerik, algoritma matriks tridiagonal, juga dikenal sebagai algoritma Thomas (dinamai Llewellyn Thomas), adalah bentuk sederhana dari eliminasi Gaussian yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan tridiagonal.

Bentuk umum notasi Thomas alghorithm,

Thomas algorithm melibatkan persamaan berikut,

Contoh :

Heat-balance dri suatu kawat dapat dituliskan dalam persamaan berikut,

𝑑²𝑇𝑑𝑥² − 0.15𝑇 = 0

 𝑇(0) = 𝑇1 = 240 

𝑇(10) = 𝑇2 = 150

Tentukan matriks tridiagonalnya (solusi numerik) dengan Panjang kawat L =10 m

Gunakan N = 6 knot (ix = 6) dan indeks berjalan dari 1 hingga 6. ada 6 suhu [T1, T2, T3, T4, T5, T6] dan vektor x [x1, x2, x3, x4, x5, x6]. Masalah ini dikembangkan dengan indeks mulai dari satu untuk mencocokkan indeks dalam pengembangan Algoritma Thomas

Diskritisasi hasil BC ; T1 = 240 dan T6 = 150

Diskretisasi PDE dengan pendekatan perbedaan pusat:

Masukkan Δ𝑥 = 2, persamaannya menjadi,

Kita membutuhkan empat persamaan, 

𝑇1 − 2.6𝑇2 + 𝑇3 = 0

𝑇2 − 2.6𝑇3 + 𝑇4 = 0

𝑇3 − 2.6𝑇4 + 𝑇5 = 0

𝑇4 − 2.6𝑇5 + 𝑇6 = 0

Bentuk lainnya adalah sebagai berikut,

Kita hitung dengan persamaan Thomas algotithm,

Direct sweep

Inverse sweep

Untuk persamaan terakhir

𝑇𝑖𝑥−1= 𝑠̂𝑖𝑥−2

Untuk masalah ix = 6

𝑇5 = 𝑠̂4 = 79.35619

Untuk berikutnya,

𝑇𝑖= 𝑠̂𝑖−1− 𝑟̂𝑖−1𝑇𝑖+1

𝑇4 = 𝑠̂3− 𝑟̂3𝑇5 = 19.39237−(−0.46542)(79.35619) = 56 

𝑇3= 𝑠̂2− 𝑟̂2𝑇4 = 41.6667−(−0.45139)(56) = 67 

𝑇2= 𝑠̂1− 𝑟̂1𝑇3 = 92.307−(−0.38462)(67) = 118

Jika dibuatkan dalam format tabel,