LINEAR EQUATION - Iterative Method - Numerical Method

RESUME PERTEMUAN KE - 4

Oleh Kelompok 2:

                                           Fryska Mazayyah J. Abay     11.18.0090

                                           M Andre Jersey Y                 11.18.0097

                                           Ulil Hidayat                          11.18.0109


Pokok Materi :
1. Jacobi Iteration
2. Gauss - Seidel Iteration

Jacobi Iteration

Contoh Soal :

Selesaikan sistem persamaan  berikut dengan metode Jacobi

27𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = 85

6 𝑥 + 15𝑦 + 2𝑧 = 72

𝑥 + 𝑦 + 54𝑧 = 110

Solusi:

Untuk menerapkan metode ini, pertama yang harus dilakukan ialah mengecek bahwa elemen diagonal melebihi nilai elemen lainnya.

27 > 6 + 1 ; 15 > 6 + 2 ; 54 > 1 + 1.

Sehingga metode iterasi dapat diterapkan,

𝑥 = 1/27(85 − 6𝑦 + z)

𝑦 = 1/15(72 − 6𝑥 − 2𝑧)

𝑧 = 1/54(110 − 𝑥 − 𝑦)

Iterasi pertama dimulai dengan :

x = y = z = 0

𝑥(1) = 85 27 = 3.14815…..….(1)

𝑦(1) = 72 15 = 4.8…..………...(2)
𝑧 (1) = 110 54 = 2.03704…...(3)

Iterasi kedua

Masukkan nilai 𝑦(1) = 4.8 dan 𝑧(1) = 2.03704 Ke persamaan (1)

𝑥(2) = 1/27 {85 − 6(4.8) + 2.03704} = 2.15693
𝑦(2)= 1/15 {72 − 63.14815 − 2 (2.03704)) = 3.26913
𝑧(2) = 1/54 {110 − 3.14815 − 4.8} = −0.515

Mencari Error 

Ea = X2- X1 / X2 

Catatan : Ea adalah nilai absolut

Gaus - Seidel Iteration

                           

Contoh Soal :

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode Gauss-­‐Seidel

10𝑥 − 5𝑦 − 2𝑧 = 3

4𝑥 − 10𝑦 + 3𝑧 = −3

𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 3

Solusi:

Untuk menerapkan metode ini, yang harus dilakukan ialah mengecek bahwa elemen diagonal melebihi nilai elemen lainnya.

10 > 5 + 2 ; 10 > 4 + 3 ; 10 > 1 + 6. 

Sehingga metoda iterasi dapat diterapkan

𝑥 = 1 103 + 5𝑦 + 2𝑧

𝑦 = 1 103 + 4𝑥 + 3𝑧

𝑧 = 1 10 − 3 − 𝑥 − 6𝑦

Iterasi pertama dimulai dengan,
x = y = z = 0

𝑥 = 3 10 = 0.3……(1)

Gunakan nilai baru x untuk perhitungan selanjutnya, yaitu:

𝑦 = 1 10 (3 + 40.3 + 30) = 0.42

Gunakan nilai x  = 0.3 dan y = 0.42 untuk mencari z :

𝑧(1) = 1 10 − 3 − 0.3 − 60.42 = −0.582

Iterasi kedua

Gunakan 𝑦(1) = 0.42 dan 𝑧(1) = −0.582 di persamaan pertama

𝑥(2) = 1 10 (3 + 50.42 + −0.582) = 0.3936

𝑦(2) = 1 10 (3 + 40.3936 + 3 − 0.582) = 0.28284

𝑧(2) = 1 10 − 3 − 0.3936 − 60.28284 = −0.509064

Mencari Error 

Ea = X2- X1 / X2 

Catatan : Ea adalah nilai absolut  

Kesimpulan

Dari dua persamaan diatas dan dari percobaan mengerjakan suatu soal dapat ditarik kesimpulan bahwa, metode Gauss - Seidel mempunyai penyelesaian yang lebih cepat dibanding Jacobi. Namun perlu diingat bahwa dalam metode Gauss untuk menyelesaikan suatu persamaan dengan error tertentu kita harus menyelesaikan semua persamaan dari semua variabel. Dikarenakan semua variabel terikat satu sama lain.

sebagai contoh, ketika kita mencari error dari X3 kita harus menyelesaikan X1 dan X2 terlebih dahulu agar dapat disubstitusikan ke persamaan X3. Hal ini berbeda dengan metode Jacobi yang menggunakan nilai dari iterasi sebelumnya sehingga kita bisa berfokus pada suatu persamaan yang belum selesai.